2024/03/24

Bhaskara 不一不異説 - Google 검색

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바스카라【Bhaskara】
의미
8 세기 후반 인도의 베단타 학파 학자. 
샹카라를 비판하고, 개별적 현상과 보편적 현상의 차이점에 주목하는 불일치 불이설을 주장.
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Bhāskara (Bhedabheda Vedanta)

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Bhāskara (8th-9th century CE)[1] was an Indian philosopher and proponent of the Bhedabheda school of Vedanta philosophy. He wrote commentaries on the Brahma Sutras, and contested Shankara's doctrine of māyā.[2]

Sources[edit]

b. Bhāskara
The first Bhedābhedavādin widely recognized as such by the later tradition is Bhāskara (8th-9th c.). He was either a younger contemporary of Śaṅkara or perhaps lived slightly after Śaṅkara. His only extant work is a commentary on the Brahma Sūtra. That work is expressly written in order to defend the earlier claims of Bhedābhedavādins against Śaṅkara’s interpretation of the Brahma Sūtra. Although he never mentions Śaṅkara by name, he makes it clear from the beginning that his primary intention in commenting on the Brahma Sūtra is to oppose some predecessor: “I am writing a commentary on thissūtra in order to obstruct those commentators who have concealed its ideas and replaced them with their own” (Bhāskara 1903: p. 1).

 

Bhāskara is the earliest in a long line of Vedāntic authors concerned to refute Advaita (including Rāmānuja and Madhva, not to mention numerous Bhedābhedavādins). Many of the stock arguments used against the Advaita originated with Bhāskara, if indeed he did not borrow them from an even earlier source. He also seems to have been remembered by the collective Advaita tradition as a thorn in its side. So, for instance, in the 14th century hagiography of Śaṅkara, theŚaṅkaradigvijaya, Mādhava depicts one “Bhaṭṭa Bhāskara” as a haughty and famous Bhedābhedavādin whom Śaṅkara defeats in a lengthy debate.




References[edit]

  1. ^ Nicholson.
  2. ^ Prabhavananda 1979, p. 299.

External links[edit]






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Bhāskara II

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Not to be confused with Bhāskara I.
Bhāskara IIBornc. 1114 CE

Vijjadavida, Maharashtra (Probably Patan[1][2] in Khandesh or Beed[3][4][5] in Marathwada)Diedc. 1185 CE

Ujjain, Madhya PradeshOther namesBhāskarācāryaOccupation(s)Astronomer, MathematicianAcademic workEraShaka eraDisciplineMathematician, astronomer, geometerMain interestsAlgebra, Arithmetic, TrigonometryNotable works
Siddhānta Shiromani (Līlāvatī, Bījagaṇita, Grahagaṇita and Golādhyāya), Karaṇa-Kautūhala
Bhaskara's proof of the Pythagorean Theorem.

Bhāskara II (c. 1114–1185), also known as Bhāskarāchārya ("Bhāskara, the teacher"), and as Bhāskara II to avoid confusion with Bhāskara I, was an Indian mathematician, astronomer and inventor. From verses in his main work, Siddhāṁta Śiromaṇī (सिद्धांतशिरोमणी), it can be inferred that he was born in 1114 in Vijjadavida (Vijjalavida) and living in the Satpuda mountain ranges of Western Ghats, believed to be the town of Patana in Chalisgaon, located in present-day Khandesh region of Maharashtra by scholars.[6] He is the only ancient mathematician who has been immortalized on a monument. In a temple in Maharashtra, an inscription supposedly created by his grandson Changadeva, lists Bhaskaracharya's ancestral lineage for several generations before him as well as two generations after him.[7][8] Colebrooke who was the first European to translate (1817) Bhaskaracharya II's mathematical classics refers to the family as Maharashtrian Brahmins residing on the banks of the Godavari.[9]

Born in a Hindu Deshastha Brahmin family of scholars, mathematicians and astronomers, Bhaskara II was the leader of a cosmic observatory at Ujjain, the main mathematical centre of ancient India.[10] Bhāskara and his works represent a significant contribution to mathematical and astronomical knowledge in the 12th century. He has been called the greatest mathematician of medieval India.[11] His main work Siddhānta-Śiromaṇi, (Sanskrit for "Crown of Treatises")[12] is divided into four parts called Līlāvatī, Bījagaṇita, Grahagaṇita and Golādhyāya,[13] which are also sometimes considered four independent works.[14] These four sections deal with arithmetic, algebra, mathematics of the planets, and spheres respectively. He also wrote another treatise named Karaṇā Kautūhala.[14]

Date, place and family[edit]

Bhāskara gives his date of birth, and date of composition of his major work, in a verse in the Āryā metre:[14]

Rasa-guṇa-pūrṇa-mahī-sama-śakanṛpa-samaye ऽbhavan-mamotpattiḥ ।
Rasa-guṇa-varṣeṇa mayā siddhānta-śiromaṇī racitaḥ ॥
[citation needed]

This reveals that he was born in 1036 of the Shaka era (1114 CE), and that he composed the Siddhānta Shiromani when he was 36 years old.[14] Siddhānta Shiromani was completed during 1150 CE. He also wrote another work called the Karaṇa-kutūhala when he was 69 (in 1183).[14] His works show the influence of Brahmagupta, Śrīdhara, Mahāvīra, Padmanābha and other predecessors.[14] Bhaskara lived in Patnadevi located near Patan (Chalisgaon) in the vicinity of Sahyadri.[15]

He was born in a Deśastha Rigvedi Brahmin family[16] near Vijjadavida (Vijjalavida). Munishvara (17th century), a commentator on Siddhānta Shiromani of Bhaskara has given the information about the location of Vijjadavida in his work Marīci Tīkā as follows:[3]

सह्यकुलपर्वतान्तर्गत भूप्रदेशे महाराष्ट्रदेशान्तर्गतविदर्भपरपर्यायविराटदेशादपि निकटे गोदावर्यां नातिदूरे

पंचक्रोशान्तरे विज्जलविडम्।

This description locates Vijjalavida in Maharashtra, near the Vidarbha region and close to the banks of Godavari river. However scholars differ about the exact location. Many scholars have placed the place near Patan in Chalisgaon Taluka of Jalgaon district[17] whereas a section of scholars identified it with the modern day Beed city.[1] Some sources identified Vijjalavida as Bijapur or Bidar in Karnataka.[18] Identification of Vijjalavida with Basar in Telangana has also been suggested.[19]

Bhāskara is said to have been the head of an astronomical observatory at Ujjain, the leading mathematical centre of medieval India. History records his great-great-great-grandfather holding a hereditary post as a court scholar, as did his son and other descendants. His father Maheśvara[15] (Maheśvaropādhyāya[14]) was a mathematician, astronomer[14] and astrologer, who taught him mathematics, which he later passed on to his son Lokasamudra. Lokasamudra's son helped to set up a school in 1207 for the study of Bhāskara's writings. He died in 1185 CE.

The Siddhānta-Śiromaṇi[edit]

Līlāvatī[edit]

Page from Lilavati, the first volume of Siddhānta Śiromaṇī. Use of the Pythagorean theorem in the corner. 1650 edition

The first section Līlāvatī (also known as pāṭīgaṇita or aṅkagaṇita), named after his daughter, consists of 277 verses.[14] It covers calculations, progressions, measurement, permutations, and other topics.[14]

Bijaganita[edit]

The second section Bījagaṇita(Algebra) has 213 verses.[14] It discusses zero, infinity, positive and negative numbers, and indeterminate equations including (the now called) Pell's equation, solving it using a kuṭṭaka method.[14] In particular, he also solved the  case that was to elude Fermat and his European contemporaries centuries later.[14]

Grahaganita[edit]

In the third section Grahagaṇita, while treating the motion of planets, he considered their instantaneous speeds.[14] He arrived at the approximation:[20] It consists of 451 verses

 for.
 close to , or in modern notation:[20]
.

In his words:[20]

bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram[citation needed]

This result had also been observed earlier by Muñjalācārya (or Mañjulācārya) mānasam, in the context of a table of sines.[20]

Bhāskara also stated that at its highest point a planet's instantaneous speed is zero.[20]

Mathematics[edit]

Some of Bhaskara's contributions to mathematics include the following:

  • A proof of the Pythagorean theorem by calculating the same area in two different ways and then cancelling out terms to get a2 + b2 = c2.[21]
  • In Lilavati, solutions of quadratic, cubic and quartic indeterminate equations are explained.[22]
  • Solutions of indeterminate quadratic equations (of the type ax2 + b = y2).
  • Integer solutions of linear and quadratic indeterminate equations (Kuṭṭaka). The rules he gives are (in effect) the same as those given by the Renaissance European mathematicians of the 17th century.
  • A cyclic Chakravala method for solving indeterminate equations of the form ax2 + bx + c = y. The solution to this equation was traditionally attributed to William Brouncker in 1657, though his method was more difficult than the chakravala method.
  • The first general method for finding the solutions of the problem x2 − ny2 = 1 (so-called "Pell's equation") was given by Bhaskara II.[23]
  • Solutions of Diophantine equations of the second order, such as 61x2 + 1 = y2. This very equation was posed as a problem in 1657 by the French mathematician Pierre de Fermat, but its solution was unknown in Europe until the time of Euler in the 18th century.[22]
  • Solved quadratic equations with more than one unknown, and found negative and irrational solutions.[citation needed]
  • Preliminary concept of mathematical analysis.
  • Preliminary concept of infinitesimal calculus, along with notable contributions towards integral calculus.[24]
  • preliminary ideas of differential calculus and differential coefficient.
  • Stated Rolle's theorem, a special case of one of the most important theorems in analysis, the mean value theorem. Traces of the general mean value theorem are also found in his works.
  • Calculated the derivatives of trigonometric functions and formulae. (See Calculus section below.)
  • In Siddhanta-Śiromaṇi, Bhaskara developed spherical trigonometry along with a number of other trigonometric results. (See Trigonometry section below.)

Arithmetic[edit]

Bhaskara's arithmetic text Līlāvatī covers the topics of definitions, arithmetical terms, interest computation, arithmetical and geometrical progressions, plane geometry, solid geometry, the shadow of the gnomon, methods to solve indeterminate equations, and combinations.

Līlāvatī is divided into 13 chapters and covers many branches of mathematics, arithmetic, algebra, geometry, and a little trigonometry and measurement. More specifically the contents include:

  • Definitions.
  • Properties of zero (including division, and rules of operations with zero).
  • Further extensive numerical work, including use of negative numbers and surds.
  • Estimation of π.
  • Arithmetical terms, methods of multiplication, and squaring.
  • Inverse rule of three, and rules of 3, 5, 7, 9, and 11.
  • Problems involving interest and interest computation.
  • Indeterminate equations (Kuṭṭaka), integer solutions (first and second order). His contributions to this topic are particularly important,[citation needed] since the rules he gives are (in effect) the same as those given by the renaissance European mathematicians of the 17th century, yet his work was of the 12th century. Bhaskara's method of solving was an improvement of the methods found in the work of Aryabhata and subsequent mathematicians.

His work is outstanding for its systematisation, improved methods and the new topics that he introduced. Furthermore, the Lilavati contained excellent problems and it is thought that Bhaskara's intention may have been that a student of 'Lilavati' should concern himself with the mechanical application of the method.[citation needed]

Algebra[edit]

His Bījaganita ("Algebra") was a work in twelve chapters. It was the first text to recognize that a positive number has two square roots (a positive and negative square root).[25] His work Bījaganita is effectively a treatise on algebra and contains the following topics:

  • Positive and negative numbers.
  • The 'unknown' (includes determining unknown quantities).
  • Determining unknown quantities.
  • Surds (includes evaluating surds and their square roots).
  • Kuṭṭaka (for solving indeterminate equations and Diophantine equations).
  • Simple equations (indeterminate of second, third and fourth degree).
  • Simple equations with more than one unknown.
  • Indeterminate quadratic equations (of the type ax2 + b = y2).
  • Solutions of indeterminate equations of the second, third and fourth degree.
  • Quadratic equations.
  • Quadratic equations with more than one unknown.
  • Operations with products of several unknowns.

Bhaskara derived a cyclic, chakravala method for solving indeterminate quadratic equations of the form ax2 + bx + c = y.[25] Bhaskara's method for finding the solutions of the problem Nx2 + 1 = y2 (the so-called "Pell's equation") is of considerable importance.[23]

Trigonometry[edit]

The Siddhānta Shiromani (written in 1150) demonstrates Bhaskara's knowledge of trigonometry, including the sine table and relationships between different trigonometric functions. He also developed spherical trigonometry, along with other interesting trigonometrical results. In particular Bhaskara seemed more interested in trigonometry for its own sake than his predecessors who saw it only as a tool for calculation. Among the many interesting results given by Bhaskara, results found in his works include computation of sines of angles of 18 and 36 degrees, and the now well known formulae for  and .

Calculus[edit]

His work, the Siddhānta Shiromani, is an astronomical treatise and contains many theories not found in earlier works.[citation needed] Preliminary concepts of infinitesimal calculus and mathematical analysis, along with a number of results in trigonometry, differential calculus and integral calculus that are found in the work are of particular interest.

Evidence suggests Bhaskara was acquainted with some ideas of differential calculus.[25] Bhaskara also goes deeper into the 'differential calculus' and suggests the differential coefficient vanishes at an extremum value of the function, indicating knowledge of the concept of 'infinitesimals'.[26]

  • There is evidence of an early form of Rolle's theorem in his work. The modern formulation of Rolle's theorem states that if , then  for some  with .
  • In this astronomical work he gave one procedure that looks like a precursor to infinitesimal methods. In terms that is if  then  that is a derivative of sine although he did not develop the notion on derivative.[27]
    • Bhaskara uses this result to work out the position angle of the ecliptic, a quantity required for accurately predicting the time of an eclipse.
  • In computing the instantaneous motion of a planet, the time interval between successive positions of the planets was no greater than a truti, or a 1⁄33750 of a second, and his measure of velocity was expressed in this infinitesimal unit of time.
  • He was aware that when a variable attains the maximum value, its differential vanishes.
  • He also showed that when a planet is at its farthest from the earth, or at its closest, the equation of the centre (measure of how far a planet is from the position in which it is predicted to be, by assuming it is to move uniformly) vanishes. He therefore concluded that for some intermediate position the differential of the equation of the centre is equal to zero.[citation needed] In this result, there are traces of the general mean value theorem, one of the most important theorems in analysis, which today is usually derived from Rolle's theorem. The mean value formula for inverse interpolation of the sine was later founded by Parameshvara in the 15th century in the Lilavati Bhasya, a commentary on Bhaskara's Lilavati.

Madhava (1340–1425) and the Kerala School mathematicians (including Parameshvara) from the 14th century to the 16th century expanded on Bhaskara's work and further advanced the development of calculus in India.[citation needed]

Astronomy[edit]

Using an astronomical model developed by Brahmagupta in the 7th century, Bhāskara accurately defined many astronomical quantities, including, for example, the length of the sidereal year, the time that is required for the Earth to orbit the Sun, as approximately 365.2588 days which is the same as in Suryasiddhanta.[28] The modern accepted measurement is 365.25636 days, a difference of 3.5 minutes.[29]

His mathematical astronomy text Siddhanta Shiromani is written in two parts: the first part on mathematical astronomy and the second part on the sphere.

The twelve chapters of the first part cover topics such as:

The second part contains thirteen chapters on the sphere. It covers topics such as:

Engineering[edit]

The earliest reference to a perpetual motion machine date back to 1150, when Bhāskara II described a wheel that he claimed would run forever.[30]

Bhāskara II invented a variety of instruments one of which is Yaṣṭi-yantra. This device could vary from a simple stick to V-shaped staffs designed specifically for determining angles with the help of a calibrated scale.[31]

Legends[edit]

In his book Lilavati, he reasons: "In this quantity also which has zero as its divisor there is no change even when many quantities have entered into it or come out [of it], just as at the time of destruction and creation when throngs of creatures enter into and come out of [him, there is no change in] the infinite and unchanging [Vishnu]".[32]

"Behold!"[edit]

It has been stated, by several authors, that Bhaskara II proved the Pythagorean theorem by drawing a diagram and providing the single word "Behold!".[33][34] Sometimes Bhaskara's name is omitted and this is referred to as the Hindu proof, well known by schoolchildren.[35]

However, as mathematics historian Kim Plofker points out, after presenting a worked-out example, Bhaskara II states the Pythagorean theorem:

Hence, for the sake of brevity, the square root of the sum of the squares of the arm and upright is the hypotenuse: thus it is demonstrated.[36]

This is followed by:

And otherwise, when one has set down those parts of the figure there [merely] seeing [it is sufficient].[36]

Plofker suggests that this additional statement may be the ultimate source of the widespread "Behold!" legend.

Legacy[edit]

A number of institutes and colleges in India are named after him, including Bhaskaracharya Pratishthana in Pune, Bhaskaracharya College of Applied Sciences in Delhi, Bhaskaracharya Institute For Space Applications and Geo-Informatics in Gandhinagar.

On 20 November 1981 the Indian Space Research Organisation (ISRO) launched the Bhaskara II satellite honouring the mathematician and astronomer.[37]

Invis Multimedia released Bhaskaracharya, an Indian documentary short on the mathematician in 2015.[38][39]

See also[edit]

References[edit]

  1. ^ Jump up to:a b Victor J. Katz, ed. (10 August 2021). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University press. p. 447. ISBN 978-0691114859.
  2. ^ Indian Journal of History of Science, Volume 35, National Institute of Sciences of India, 2000, p. 77
  3. ^ Jump up to:a b M. S. Mate; G. T. Kulkarni, eds. (1974). Studies in Indology and Medieval History: Prof. G. H. Khare Felicitation Volume. Joshi & Lokhande Prakashan. pp. 42–47. OCLC 4136967.
  4. ^ K. V. Ramesh; S. P. Tewari; M. J. Sharma, eds. (1990). Dr. G. S. Gai Felicitation Volume. Agam Kala Prakashan. p. 119. OCLC 464078172.
  5. ^ Proceedings, Indian History Congress, Volume 40, Indian History Congress, 1979, p. 71
  6. ^ T. A. Saraswathi (2017). "Bhaskaracharya". Cultural Leaders of India - Scientists. Publications Division Ministry of Information & Broadcasting. ISBN 9788123024851.
  7. ^ गणिती (Marathi term meaning Mathematicians) by Achyut Godbole and Dr. Thakurdesai, Manovikas, First Edition 23, December 2013. p. 34.
  8. ^ Mathematics in India by Kim Plofker, Princeton University Press, 2009, p. 182
  9. ^ Algebra with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara by Henry Colebrooke, Scholiasts of Bhascara p., xxvii
  10. ^ Sahni 2019, p. 50.
  11. ^ Chopra 1982, pp. 52–54.
  12. ^ Plofker 2009, p. 71.
  13. ^ Poulose 1991, p. 79.
  14. ^ Jump up to:a b c d e f g h i j k l m n S. Balachandra Rao (13 July 2014), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Vijayavani, p. 17[unreliable source?]
  15. ^ Jump up to:a b Pingree 1970, p. 299.
  16. ^ The Illustrated Weekly of India, Volume 95. Bennett, Coleman & Company, Limited, at the Times of India Press. 1974. p. 30. Deshasthas have contributed to mathematics and literature as well as to the cultural and religious heritage of India. Bhaskaracharaya was one of the greatest mathematicians of ancient India.
  17. ^ Bhau Daji (1865). "Brief Notes on the Age and Authenticity of the Works of Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhattotpala and Bhaskaracharya". Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. pp. 392–406.
  18. ^ "1. Ignited minds page 39 by APJ Abdul Kalam, 2. Prof Sudakara Divedi (1855-1910), 3. Dr B A Salethor (Indian Culture), 4. Govt of Karnataka Publications, 5. Dr Nararajan (Lilavati 1989), 6. Prof Sinivas details(Ganitashatra Chrithra by1955, 7. Aalur Venkarayaru (Karnataka Gathvibaya 1917, 8. Prime Minister Press Statement at sarawad in 2018, 9. Vasudev Herkal (Syukatha Karnataka articles), 10. Manjunath sulali (Deccan Herald 19/04/2010, 11. Indian Archaeology 1994-96 A Review page 32, Dr R K Kulkarni (Articles)"
  19. ^ B.I.S.M. quarterly, Poona, Vol. 63, No. 1, 1984, pp 14-22
  20. ^ Jump up to:a b c d e Scientist (13 July 2014), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Vijayavani, p. 21[unreliable source?]
  21. ^ Verses 128, 129 in Bijaganita Plofker 2007, pp. 476–477
  22. ^ Jump up to:a b Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians von T.K Puttaswamy
  23. ^ Jump up to:a b Stillwell 2002, p. 74.
  24. ^ Students& Britannica India. 1. A to C by Indu Ramchandani
  25. ^ Jump up to:a b c 50 Timeless Scientists von K.Krishna Murty
  26. ^ Shukla 1984, pp. 95–104.
  27. ^ Cooke 1997, pp. 213–215.
  28. ^ "The Great Bharatiya Mathematician Bhaskaracharya ll". The Times of India. ISSN 0971-8257. Retrieved 24 May 2023.
  29. ^ IERS EOP PC Useful constants. An SI day or mean solar day equals 86400 SI seconds. From the mean longitude referred to the mean ecliptic and the equinox J2000 given in Simon, J. L., et al., "Numerical Expressions for Precession Formulae and Mean Elements for the Moon and the Planets" Astronomy and Astrophysics 282 (1994), 663–683.[1]
  30. ^ White 1978, pp. 52–53.
  31. ^ Selin 2008, pp. 269–273.
  32. ^ Colebrooke 1817.
  33. ^ Eves 1990, p. 228
  34. ^ Burton 2011, p. 106
  35. ^ Mazur 2005, pp. 19–20
  36. ^ Jump up to:a b Plofker 2007, p. 477
  37. ^ Bhaskara NASA 16 September 2017
  38. ^ "Anand Narayanan". IIST.
  39. ^ "Great Indian Mathematician - Bhaskaracharya". indiavideodotorg. 22 September 2015. Archived from the original on 12 December 2021.

Bibliography[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

Wikisource has original text related to this article:
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바스카라 2세

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

바스카라의 피타고라스 정리 증명.

바스카라(1114-1185) 또는 바스카라차리야(Bhāskarāchārya "Bhāskara, 교사")는 바스카라 1세와의 혼동을 피하기 위해 바스카라 2세라고 불리는 인도인 수학자이자 천문학자이다. 대표적인 저서로 『싯단타 슈로마니』 (सिध्दरंतशिरोमणी, 천체계의 왕관)가 있다. 싯단타 슈로마니에 의하면 바스카라 2세는 인도 바두르에서 태어났다고 추측된다. 이후 인도 우자인의 바하라미라와 브라마굽타에서 살았으며 1185년 우자인에서 사망했다.[1] 바스카라는 천문학자였던 아버지의 영향으로 생애 대부분을 천체 관측 책임자로 보냈으며 틈틈히 수학연구를 하여 수학사에 많은 업적을 남겼다. 바스카라는 마하라슈트라에서 불멸로 기념되는 유일한 고대 수학자이다. 마하라슈트라의 한 사원에 있는 바스카라의 손자 캉가데바(Cangadeva)가 만든 것으로 추정되는 비문에는 바스카라차리아의 이전 몇 세대와 이후 2세대에 걸친 조상의 혈통이 나열되어 있다.[2][3]

힌두교의 데샤스타 브라만 학자, 수학자, 천문학자 집안에서 태어난 바스카라 2세는 고대 인도의 주요 수학 중심지인 우자인에 있는 천문대의 지도자였다.[4] 바스카라와 그 연구들은 12세기 수학과 천문학 지식에 상당한 기여를 해 그는 중세 인도에서 가장 위대한 수학자라 불린다.[5] 그의 주요 저서인 싯단타-슈로마니는 때때로 독립적인 연구라고 생각되는[6] 릴라바티, 비자가니타, 그라하가니타 및 골라댜야의 4가지 장으로 구분된다.[7] 이 네 부분은 각각 산술, 대수학, 행성의 수학, 구(球)를 다루고 있다. 그는 카라나 카우투할라(Karaṇā Kautūhala)라는 제목의 또 다른 논문도 저술했다.

싯단타 슈로마니[편집]

릴라바티[편집]

딸의 이름을 따 이름 지은 첫째 장 릴라바티(pāṭīgaṇita 또는 aṅkagaṇita로도 알려짐)는 277개의 구절로 구성되어 있다. 계산, 진행, 측정, 순열 및 기타 주제를 다루는데, 릴라바티는 시와 같은 아름다운 구절들로 이루어져 있다.

비자가니타[편집]

두번째 장 비자가니타(Bījagaṇita, 대수학)에는 213개의 절이 있다. 이 장에서는 0과 무한대, 양수와 음수, 펠 방정식을 포함한 불확정 방정식을 꾸따꺼 방법을 사용하여 푸는 것에 대해 설명한다. 특히 바스카라는 문제를 풀었는데 , 이 문제는 수세기 뒤에 페르마를 비롯한 그 동시대 유럽인들이 피한 문제이다.

그라하가니타[편집]

셋째 장 그라하가니타에서 그는 행성의 운동을 다루면서 행성의 순간 속도를 고찰했다. 그는 근사값에 도달했다. 이 3장은 451절로 구성되어 있다.

 for  close to , 또는 현대 표기법:
 .

이 결과는 먼절라카리아 머나삼(Muñjalācārya mānasam)이 사인 표의 맥락에서 더 일찍 관찰하였다.

수학[편집]

수학에 대한 바스카라의 공헌 중 일부는 다음과 같다.

  • 동일한 면적을 두 가지 다른 방법으로 계산한 다음 항을 소거하여 a 2 + b 2 = c 2를 얻는 피타고라스 정리의 증명.[8]
  • 릴라바티에서 2차, 3차 및 4차 불확정 방정식의 해를 설명.[9]
  • 불확정 이차 방정식의 해( ax 2 + b = y 2 유형).
  • 선형 및 이차 불확정 방정식의 정수 풀이법(꾸따꺼). 그가 제시한 규칙은 사실상 17세기 르네상스 유럽 수학자들이 제시한 규칙과 동일하다.
  • ax 2 + bx + c = y 형식의 불확정 방정식을 푸는 순환 차크라발라 방법. 이 방정식의 해는 전통적으로 1657년의 윌리엄 브롱커의 방법으로 구했지만 윌리엄 브롱커의 방법은 차크라발라 방법보다 더 어렵다.
  • 문제 x 2 − ny 2 = 1(소위 " Pell의 방정식 ")의 해를 구하는 첫번째 일반적 방법은 바스카라 2세가 제시했다.[10]
  • 61x 2 + 1 = y 2과 같은 2차 디오판틴 방정식의 풀이법. 바로 이 방정식이 1657년 프랑스 수학자 피에르 드 페르마에 의해 문제로 제기되었지만 이 풀이법은 18세기 오일러 시대까지 유럽에서 알려지지 않았다.[9]
  • 둘 이상의 미지수가 있는 이차 방정식을 풀고 음수와 무리수 해를 찾았다.
  • 수학적 분석의 예비 개념.
  • 적분 미적분학에 대한 주목할만한 기여와 극소 미적분의 예비 개념.[11]
  • 미분 및 미분 계수의 근사치를 발견한 후 미분학을 구상.
  • 롤의 정리는 분석에서 가장 중요한 정리 중 하나인 평균값 정리의 특별한 경우이다. 일반평균값 정리의 흔적은 그의 작업에서도 찾아볼 수 있다.
  • 삼각 함수 및 공식의 도함수 계산.
  • 싯단타-시로마니에서 다른 삼각법 결과와 함께 구면 삼각법을 개발.

산수[편집]

  • 정의.
  • 0의 속성(나누기 및 0이 있는 연산 규칙 포함).
  • 음수 및 surds 사용을 포함하여 더 광범위한 수치 작업.
  • π의 추정.
  • 산술 용어, 곱셈 및 제곱법
  • 3의 역 법칙과 3, 5, 7, 9, 11의 규칙
  • 이자 및 이자 계산과 관련된 문제
  • 불확정 방정식(Kuṭṭaka), 정수 풀이법(1차 및 2차). 이 에 대한 바스카라의 공헌은 특히 중요한데, 바스카라가 제시한 규칙은 17세기 르네상스 시대의 유럽 수학자들의 규칙과 (사실상) 동일하지만, 바스카라의 작업은 12세기의 것이기 때문이다. 바스카라의 해결 방법은 아리아바타와 후속 수학자들의 작업에서 발견된 방법의 개선이었다.

대수학[편집]

  • 양수 및 음수 .
  • '알 수 없음'(알 수 없는 양 결정 포함).
  • 알 수 없는 양을 결정.
  • 거듭제곱근.
  • 꾸따꺼(Kuṭṭaka) (불확정 방정식 및 디오판토스 방정식 풀기).
  • 간단한 방정식(2차, 3차 및 4차의 불확정).
  • 둘 이상의 미지수가 있는 간단한 방정식.
  • 불확정 이차 방정식 ( ax 2 + b = y 2 유형).
  • 2차, 3차, 4차 불확정 방정식의 해.
  • 이차 방정식.
  • 둘 이상의 미지수가 있는 이차 방정식.
  • 몇 가지 알려지지 않은 제품을 사용한 작업.

계산법[편집]

  • 그의 작업에는 초기 형태의 롤의 정리의 증거가 있다. 롤의 정리의 현대 공식은 다음과 같다. , 그러면  for some  with  .
  • 그는 다음과 같은 결과를 주었다.  이면 , 그렇게 함으로써 그는 도함수의 개념을 개발한 적이 없음에도 불구하고사인의 도함수를 찾았다.[12]
    • 바스카라는 이 결과를 사용하여 일식 시간을 정확하게 예측하는 데 필요한 양인 황도의 위치 각도를 계산.
  • 행성의 순간 운동을 계산할 때, 행성의 연속적인 위치 사이의 시간 간격은 1트루티 또는 a보다 크지 않거나 1⁄33750 초이고, 바스카라의 속도 측정은 이 무한한 시간 단위로 표현되었다.
  • 바스카라는 변수가 최대값에 도달하면 그 차이가 사라진다는 것을 알고 있었다.
  • 바스카라는 또한 행성이 지구에서 가장 멀거나 가장 가까이 있을 때 중심 방정식(행성이 움직일 것이라고 가정함으로써 예측되는 위치에서 행성이 얼마나 멀리 떨어져 있는지 측정)을 보여주었다. 따라서 그는 어떤 중간 위치에 대해 중심 방정식의 미분이 0과 같다고 결론지었다.  이 결과에는 오늘날 일반적으로 롤의 정리에서 파생되는 분석에서 가장 중요한 정리 중 하나인 일반 평균값 정리의 자취가 있다. 평균값 정리는 나중에 Bhaskara의 Lilavati 에 대한 주석인 Lilavati Bhasya 에서 15세기 Parameshvara 에 의해 발견되었다.

천문학[편집]

바스카라는 브라마굽타가 7세기에 개발했던 천문학적 모델을 사용하여 천문학적 수치를 정확하게 정의했다. 예를 들면 항성년의 길이, 지구가 태양을 공전하는 데 필요한 시간을 수랴싯단타와 동일하게 약 365.2588일로 정확하게 정의한 것 등이 있다. 현대의 측정값은 365.25636일로, 3.5분의 차이밖에 나지 않는다.[13]

첫 번째 부분의 12개 장은 다음과 같은 주제를 다룬다.

  • 행성의 평균 경도
  • 행성의 실제 경도
  • 일교차의 세 가지 문제 (일주 운동은 지구 주위, 더 정확하게는 두 개의 천구 주위를 도는 별의 겉보기 매일 운동을 나타내는 천문학적 용어이다. 그것은 축을 중심으로 한 지구의 자전으로 인해 발생하므로 모든 별은 분명히 원을 그리며 움직인다. 이를 일주권이라고 한다. )
  • 합충
  • 월식
  • 일식
  • 행성의 위도
  • 일출 방정식
  • 초승달
  • 행성들의 합
  • 고정 별 과 행성의 결합.
  • 해와 달의 진행 경로.

두번째 부분에는 13개 장의 구절이 포함되어 있다. 둘째 장은 아래와 같은 주제를 다룬다.

유산[편집]

푸네의 바스카라차리아 프라타시타나, 델리의 바스카라차리아 응용과학대학, 간디나가르의 바스카라차리아 우주 응용 및 지리 정보학 연구소를 포함하여 인도의 여러 연구소와 대학이 바스카라의 이름을 따 명명되었다.

1981년 11월 20일, 인도우주연구기구(ISRO)는 수학자이자 천문학자인 바스카라를 기리는 바스카라 II 위성을 발사했다.[14]

각주[편집]

  1. ↑ “[아빠와 함께 떠나는 스토리텔링 수학여행] 바스카라 2세의 독특한 뺄셈”. 2014년 7월 8일. 2022년 8월 21일에 확인함.
  2. ↑ गणिती (Marathi term meaning Mathematicians) by Achyut Godbole and Dr. Thakurdesai, Manovikas, First Edition 23, December 2013. p. 34.
  3. ↑ Mathematics in India by Kim Plofker, Princeton University Press, 2009, p. 182
  4. ↑ Sahni 2019.
  5. ↑ Chopra 1982.
  6. ↑ Plofker 2009.
  7. ↑ Poulose 1991.
  8. ↑ Verses 128, 129 in Bijaganita Plofker 2007
  9. ↑ 이동:가 나 Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians von T.K Puttaswamy
  10. ↑ Stillwell1999.
  11. ↑ Students& Britannica India. 1.
  12. ↑ Cooke 1997.
  13. ↑ IERS EOP PC Useful constants.
  14. ↑ Bhaskara NASA 16 September 2017

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바스카라 2세

출처 : 무료 백과 사전 "Wikipedia (Wikipedia)"

바스카라 (Bhāskara, 말라티어 : भास्कराचार्य , 1114-1185)는 인도 수학자 천문학 자 . 7세기 수학자 바스카라 1세 ( 힌디어판 , 영어판 ) 와 구별하기 위해 바스카라 2세 (Bhaskara II) 또는 바스카라 찰리야 (Bhaskara Achārya, 바스카라 선생님의 뜻)라고도 불린다. 남 인도의 현재 마하라 슈트라 주 비드 현  ( Beed district, Maharashtra )  에 해당하는 Bijjada Bida에서 바라몬 계급의 집에서 태어난다. 당시 인도 수학의 중심지였던 우자인  ( Ujjain )  의 천문대 의 천문 대장을 맡았다. 전임자에게는 블러마구프타 (598년-665년)와 발라하미히라가 있다. 서가츠 산맥 지방에 살고 있었다.

인물·평생 [ 편집 ]

대대로, 궁정학자의 지위를 세습하고 있어, 바스카라의 아들과 그 자손도 그 지위를 계승하고 있는 것이 기록에 남아 있다. 아버지 마헤스바라(Mahesvara)는 점성술사 로 바스카라에게 수학을 가르치고 바스카라는 그것을 아들 Loksamudra에게 계승시켰다. Loksamudra의 아들은 1207년에 학교 설립을 돕고, 거기서 바스카라가 쓴 문서를 연구했다 [1] .

바스카라는 12세기 수학과 천문학의 발전에 큰 성과를 남겼다. 주요 저서로는 릴라바티  ( Lilavati )  (주로 산술을 다루고 있다), '비자가니타'  ( Bijaganita )  ( 대수학 ), '시단타 시로마니'  ( Siddhānta Shiromani )  (1150년)가 있다. 『시단타 시로마니』는 Goladhyaya( 구면 )와 Grahaganita( 행성 의 수학)의 2부 구성으로 되어 있다.

전설 [ 편집 ]

바스카라 2세 산술 책은 그의 딸 릴라바티를 위해 썼다는 전설이 있다. 페르시아어 버전 의 '릴라바티'에 쓰여진 이야기는, 바스카라 2세가 릴라바티의 홀로스코프를 연구해 점차 보았는데, 딸이 특정 시간에 결혼하지 않으면 그녀의 남편이 결혼 얼마 지나지 않아 죽자고 했다는 것이다. 딸에게 그 정확한 시간을 경고하기 위해, 바스카라 2세는 물이 담긴 용기를 놓고 그 위에 바닥에 작은 구멍이 있는 컵을 띄우고, 딱 좋은 시간에 컵이 가라앉도록 설정했다. 그리고 릴라바티에게는 그것에 접근하지 말라고 경고했다. 그러나 딸은 이상하게 생각하고 그것을 들여다보고 코에 붙여 있던 진주가 컵에 떨어지고 침몰 방법이 바뀌었다. 그 때문에 결혼이 잘못된 시간에 집행되어 그녀는 곧 미망인이 되었다. [2]

바스카라 2세는 유한의 수를 0으로 나누면( 제로 나눗셈 ) 무한대가 된다는 현대적인 수학과 같은 생각을 하고 있었다 [3] . 덧붙여 현대수학의 관점에서는, 제로 나눗셈은 어떠한 어프로치로부터 정의를 시도해도 반드시 파탄에 이르게 되어, 「값을 정의할 수 없기 때문에, 계산은 불가능하다」라고 하는 견해로 일치하고 있다. 자세한 내용은 제로 나누기를 참조하십시오.

수학 [ 편집 ]

바스카라 2세의 수학에 기여하는 데는 다음과 같은 것이 있다.

산술 [ 편집 ]

바스카라 2세 산술 에 관한 저서 『릴라바티』는 정의, 산술 용어, 이자 계산, 산술 급수와 기하급수, 평면 기하학, 입체 기하학, 해시계의 그림자, 불변 방정식 의 해법 , 조합 등 을 취급하고 있다.

『릴라바티』는 13장으로 이루어져 산술뿐만 아니라 대수학이나 기하학도 취급하고, 일부는 삼각법이나 구적법을 취급하고 있다. 구체적으로는 다음과 같은 내용이 있다.

  • 정의
  • 제로 의 성질( 제법을 포함한 제로의 연산 규칙)
  • 기타 수에 관한 것. 음수 나 무리수 ( 명근 )를 포함한다.
  • 원주율 의 근사값.
  • 산술. 승법 이나 제곱 등.
  • 역삼수법 (inverse rule of three). 3뿐만 아니라 5, 7, 9, 11로 확장.
  • 이자 계산과 관련된 문제.
  • 산술 급수와 기하 급수.
  • 평면 기하학.
  • 입체 기하학.
  • 조합 수학 (순열과 조합).
  • 선형 및 2차 부정방정식의 정수해를 구하는 방법(쿠타카). 이에 대해서는 17세기 르네상스기 유럽의 수학자와 같은 해법을 나타내고 있어 매우 중요하다. 바스카라 2세의 해법은 아리아바타 등 선인의 성과에 근거한 것이었다.

그의 저서는 체계화, 해법의 개선, 새로운 문제의 도입 등의 점이 우수하다. 게다가 『릴라바티』에는 훌륭한 예제도 있고, 바스카라 2세는 『릴러바티』에서 배우는 학생에게 그 내용을 구체적으로 도움을 주었으면 한다고 의도하고 있었다고 생각된다.

대수학 [ 편집 ]

「비자가니타」( 대수학 )는 12장으로 이루어진다. 양수에는 (정과 부의) 2개의 제곱근이 있는 것을 처음으로 나타낸 문서이다. 다음과 같은 내용을 포함한다.

  • 양수와 음수
  • 제로
  • 미지수
  • 알 수없는 수량 결정
  • 근근 과 무리수
  • 쿠타카법(부정 방정식 및 디오판토스 방정식 해법)
  • 간단한 방정식 (2차, 3차, 4차)
  • 여러 변수가 있는 간단한 방정식
  • 부정 2차 방정식 (ax 2 + b = y 2 형식의 것)
  • 2차, 3차, 4차 부정방정식 해법
  • 2차 방정식
  • 여러 변수가 있는 2차 방정식
  • 여러 변수의 곱 작업

바스카라 2세는 ax 2 + bx + c = y 라는 형식의 부정 2차 방정식의 해법으로서 차크라바라법을 도출했다. 펠 방정식 이라고 불리는 Nx 2 + 1 = y 2 라고 하는 형식의 문제의 정수해를 구하는 바스카라 2세의 방법도 중요하다(이쪽도 차크라바라법).

삼각법 [ 편집 ]

『시단타 시로마니』(1150년)에서는 삼각법을 다루고 있으며, 사인 함수의 수표나 각종 삼각 함수의 관계도 적고 있다. 또, 몇 가지 흥미로운 삼각법 에 섞여 구면 삼각법 도 발견하고 있다. 바스카라 2세 이전 인도의 수학자들은 삼각법을 계산의 도구로 밖에 보고 있지 않았지만, 바스카라 2세 자신은 삼각법에 큰 관심을 가지고 있었던 것 같다. 삼각함수 의 가법정리라고 한다야등도 다루고 있다.

미분적분학 [ 편집 ]

'시단타 시로마니'는 천문학을 중심으로 다루고 있지만, 그 이전의 저작에는 없는 다양한 이론이 포함되어 있다. 특히, 일부 삼각법 의 성과에 따른 미분법 이나 해석학 의 기본 개념, 적분법 의 사고방식 등을 볼 수 있다.

그 저작으로부터, 바스카라 2세는 미분법 의 몇 가지 생각을 알고 있었다고 보여지고 있다. 그러나 이러한 성과의 사용법을 이해하지 못한 것으로 보이며, 그 때문에 수학사가에서는 일반적으로 무시되고 있다. 바스카라 2세는 함수의 극값에서 미분계수가 0이 되는 것을 시사하고 있으며, 무한소 의 개념을 알고 있었음을 나타내고 있다 [4] .

  • 롤의 정리 의 원형이 저작에 보인다.
    • 때,라는 범위가 있는에서된다.
  • 그렇다면된다는 결과를 얻고 있다. 사인 함수의 미분을 발견했지만 미분으로 일반화하려고 시도하지 않았습니다 [5] .
    • 바스카라 2세는 황도 상의 위치각을 구하는데 사용하고 있다. 이것은 음식이 일어나는 시간을 정확하게 예측하는 데 필요했습니다.
  • 행성의 순간적인 운행을 계산함에 있어서 행성의 위치를 ​​1⁄ 33750 초 이하의 간격으로 측정하고 있으며, 이러한 무한한 시간 단위로 속도를 측정하고 있었다.
  • 그는 변수가 극대치가 되었을 때 미분계수가 사라지는(제로가 됨) 것을 알고 있었다.
  • 또한 행성이 지구에서 가장 먼 위치에 있거나 가장 가까운 위치에 있을 때 행성이 겉보기에 일정 속도로 운행한다고 가정하여 계산한 위치와 실제 위치의 차이가 0이 되는 것을 나타냈다. . 그래서 그는 그 차이를 나타내는 식과 실제 운행의 차이가 0이 되는 점이 중간에 존재한다고 결론지었다. 이것은 해석학 의 가장 중요한 정리인 평균치의 정리의 생각과 같고, 오늘날 롤의 정리 로부터 도출하는 것이 일반적이다. 평균치의 정리는 15세기, 바스카라 2세의 『릴라바티』의 주석본인 파라메시 바라  ( Parameshvara )  의 Lilavati Bhasya 에서 발견되고 있다.

마다바 (1340년~1425년)와 14세기부터 16세기에 이르는 케랄라 학파 수학자들(파라메시바라 포함)은 바스카라 2세의 실적을 발전시켜 인도에서의 미분적분학을 발전 시켜 했다.

천문학 [ 편집 ]

블러마구프타  가 7세기에 발전시킨 천문 모델을 사용해, 바스카라 2세는 항성년( 지구 가 태양 주위를 일주하는데 걸리는 시간)의 길이  를 365.2588일로 하는 등 [ 요출전 ] , 다양한 천문학상의 양을 정의했다. 현재의 측정치는 365.2563일이며, 그 차이는 단 3.5분이다.

그의 천문학의 저서 '시단타 시로마니'는 두 부분으로 구성된다. 전반은 수학적 천문학이고 후반은 구면을 다루고 있다.

전반부 12장에서는 다음과 같은 내용을 다룬다.

후반은 구면에 관한 13장으로 구성된다. 다음과 같은 내용을 다루고 있다.

공학 [ 편집 ]

1150년, 바스카라 2세는 영구적으로 계속 돌고 있는 바퀴에 대해 기술하고 있으며, 영구기관 의 오래된 예의 하나가 되고 있다 [6] .

바스카라 2세는 Yasti-yantra 라고 하는 측정 기구를 사용하고 있었다. 단순한 막대 모양이 되거나, V자형으로 변형시킬 수 있고, 통치자와 조합해 각도를 측정하는데 주로 사용했다고 한다 [7] .

각주·출처 [ 편집 ]

[ 각주 사용법 ]
  1. ↑ Plofker, Kim (2007). Mathematics in India . pp. 447
  2. ^ 세부는 다르지만, 이안 스튜어트「수학의 마법의 보물 상자」소프트뱅크 크리에이티브, 7페이지. ISBN  978-4-7973-5982-4 . 에 비슷한 이야기가 소개되었습니다.
  3. ↑ Arithmetic and mensuration of Brahmegupta and Bhaskara, HT Colebrooke , 1817
  4. ↑ Shukla , Kripa Shankar (1984). “Use of Calculus in Hindu Mathematics”. Indian Journal of History of Science 19 : 95–104.
  5. ↑ Cooke, Roger (1997). “The Mathematics of the Hindus”. The History of Mathematics: A Brief Course . Wiley-Interscience. pp. 213–214. ISBN 0471180823 
  6. ↑ Lynn Townsend White, Jr. (April 1960), "Tibet, India, and Malaya as Sources of Western Medieval Technology", The American Historical Review 65 (3): 522-6
  7. ↑ Ōhashi, Yukio (2008), "Astronomical Instruments in India", in Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2nd edition) edited by Helaine Selin, Springer, pp. 269-273 , 978-1-4020-4559-2

참고 문헌 [ 편집 ]

외부 링크 [ 편집 ]

영어판 위키소스에는 이 기사와 관련된 원문이 있습니다.

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