바스카라 2세

바스카라 (Bhāskara, 말라티어 : भास्कराचार्य , 1114-1185)는 인도 수학자 천문학 자 .

7세기 수학자 바스카라 1세 ( 힌디어판 , 영어판 ) 와 구별하기 위해 바스카라 2세 (Bhaskara II) 또는 바스카라 찰리야 (Bhaskara Achārya, 바스카라 선생님의 뜻)라고도 불린다.

남 인도의 현재 마하라 슈트라 주 비드 현 ( Beed district, Maharashtra ) 에 해당하는 Bijjada Bida에서 바라몬 계급의 집에서 태어난다. 당시 인도 수학의 중심지였던 우자인 ( Ujjain ) 의 천문대 의 천문 대장을 맡았다. 전임자에게는 블러마구프타 (598년-665년)와 발라하미히라가 있다. 서가츠 산맥 지방에 살고 있었다.

인물·평생 [ 편집 ]

대대로, 궁정학자의 지위를 세습하고 있어, 바스카라의 아들과 그 자손도 그 지위를 계승하고 있는 것이 기록에 남아 있다. 아버지 마헤스바라(Mahesvara)는 점성술사 로 바스카라에게 수학을 가르치고 바스카라는 그것을 아들 Loksamudra에게 계승시켰다. Loksamudra의 아들은 1207년에 학교 설립을 돕고, 거기서 바스카라가 쓴 문서를 연구했다 ^[1] .

바스카라는 12세기 수학과 천문학의 발전에 큰 성과를 남겼다. 주요 저서로는 릴라바티 ( Lilavati ) (주로 산술을 다루고 있다), '비자가니타' ( Bijaganita ) ( 대수학 ), '시단타 시로마니' ( Siddhānta Shiromani ) (1150년)가 있다. 『시단타 시로마니』는 Goladhyaya( 구면 )와 Grahaganita( 행성 의 수학)의 2부 구성으로 되어 있다.

전설 [ 편집 ]

바스카라 2세 산술 책은 그의 딸 릴라바티를 위해 썼다는 전설이 있다. 페르시아어 버전 의 '릴라바티'에 쓰여진 이야기는, 바스카라 2세가 릴라바티의 홀로스코프를 연구해 점차 보았는데, 딸이 특정 시간에 결혼하지 않으면 그녀의 남편이 결혼 얼마 지나지 않아 죽자고 했다는 것이다. 딸에게 그 정확한 시간을 경고하기 위해, 바스카라 2세는 물이 담긴 용기를 놓고 그 위에 바닥에 작은 구멍이 있는 컵을 띄우고, 딱 좋은 시간에 컵이 가라앉도록 설정했다. 그리고 릴라바티에게는 그것에 접근하지 말라고 경고했다. 그러나 딸은 이상하게 생각하고 그것을 들여다보고 코에 붙여 있던 진주가 컵에 떨어지고 침몰 방법이 바뀌었다. 그 때문에 결혼이 잘못된 시간에 집행되어 그녀는 곧 미망인이 되었다. ^[2]

바스카라 2세는 유한의 수를 0으로 나누면( 제로 나눗셈 ) 무한대가 된다는 현대적인 수학과 같은 생각을 하고 있었다 ^[3] . 덧붙여 현대수학의 관점에서는, 제로 나눗셈은 어떠한 어프로치로부터 정의를 시도해도 반드시 파탄에 이르게 되어, 「값을 정의할 수 없기 때문에, 계산은 불가능하다」라고 하는 견해로 일치하고 있다. 자세한 내용은 제로 나누기를 참조하십시오.

수학 [ 편집 ]

바스카라 2세의 수학에 기여하는 데는 다음과 같은 것이 있다.

피타고라스 의 정리 증명. 같은 영역의 면적 을 2종류의 방법으로 계산하고, 항을 상쇄시켜 지우는 것으로 a ² + b ² = c ² 라고 하는 식을 이끌었다.
『릴라바티』에 있어서, 2차 방정식 , 3차 방정식 , 4차 방정식 의 해를 나타냈다.
선형 및 2차 방정식에서 정수 해를 구하는 방법(쿠타카법). 17세기 르네상스기 유럽의 수학자와 같은 방법이다.
ax ² + bx + c = y 라는 형식의 방정식을 푸는 차크라바라법 ( Chakravala method ) . 이 방정식은 1657년에 윌리엄 브라운커가 풀었다고 여겨졌지만, 그의 방법은 차크라바라법보다 복잡했다.
펠 방정식 이라고 불리는 x ² - ny ² = 1 형식의 방정식의 정수 해를 구하는 방법을 나타냈다.
변수가 복수 있는 2차 방정식을 풀어 음수 와 무리수의 해를 발견했다.
해석학 의 기본 개념.
미분법 의 기본 개념과 적분법 의 기초가 되는 공헌. 미분 과 미분 계수를 발견. 평균 정리 의 특별한 경우 인 롤의 정리를 발견. 평균치의 정리라고 생각되는 기술도 저작 속에서 발견되고 있다.
삼각 함수 의 미분을 계산.
'시단타 시로마니' 중 일부 삼각법 과 함께 구면 삼각법을 전개하고 있다.

산술 [ 편집 ]

바스카라 2세 산술 에 관한 저서 『릴라바티』는 정의, 산술 용어, 이자 계산, 산술 급수와 기하급수, 평면 기하학, 입체 기하학, 해시계의 그림자, 불변 방정식 의 해법 , 조합 등 을 취급하고 있다.

『릴라바티』는 13장으로 이루어져 산술뿐만 아니라 대수학이나 기하학도 취급하고, 일부는 삼각법이나 구적법을 취급하고 있다. 구체적으로는 다음과 같은 내용이 있다.

정의
제로 의 성질( 제법을 포함한 제로의 연산 규칙)
기타 수에 관한 것. 음수 나 무리수 ( 명근 )를 포함한다.
원주율 의 근사값.
산술. 승법 이나 제곱 등.
역삼수법 (inverse rule of three). 3뿐만 아니라 5, 7, 9, 11로 확장.
이자 계산과 관련된 문제.
산술 급수와 기하 급수.
평면 기하학.
입체 기하학.
조합 수학 (순열과 조합).
선형 및 2차 부정방정식의 정수해를 구하는 방법(쿠타카). 이에 대해서는 17세기 르네상스기 유럽의 수학자와 같은 해법을 나타내고 있어 매우 중요하다. 바스카라 2세의 해법은 아리아바타 등 선인의 성과에 근거한 것이었다.

그의 저서는 체계화, 해법의 개선, 새로운 문제의 도입 등의 점이 우수하다. 게다가 『릴라바티』에는 훌륭한 예제도 있고, 바스카라 2세는 『릴러바티』에서 배우는 학생에게 그 내용을 구체적으로 도움을 주었으면 한다고 의도하고 있었다고 생각된다.

대수학 [ 편집 ]

「비자가니타」( 대수학 )는 12장으로 이루어진다. 양수에는 (정과 부의) 2개의 제곱근이 있는 것을 처음으로 나타낸 문서이다. 다음과 같은 내용을 포함한다.

양수와 음수
제로
미지수
알 수없는 수량 결정
근근 과 무리수
쿠타카법(부정 방정식 및 디오판토스 방정식 해법)
간단한 방정식 (2차, 3차, 4차)
여러 변수가 있는 간단한 방정식
부정 2차 방정식 (ax ² + b = y ² 형식의 것)
2차, 3차, 4차 부정방정식 해법
2차 방정식
여러 변수가 있는 2차 방정식
여러 변수의 곱 작업

바스카라 2세는 ax ² + bx + c = y 라는 형식의 부정 2차 방정식의 해법으로서 차크라바라법을 도출했다. 펠 방정식 이라고 불리는 Nx ² + 1 = y ² 라고 하는 형식의 문제의 정수해를 구하는 바스카라 2세의 방법도 중요하다(이쪽도 차크라바라법).

삼각법 [ 편집 ]

『시단타 시로마니』(1150년)에서는 삼각법을 다루고 있으며, 사인 함수의 수표나 각종 삼각 함수의 관계도 적고 있다. 또, 몇 가지 흥미로운 삼각법 에 섞여 구면 삼각법 도 발견하고 있다. 바스카라 2세 이전 인도의 수학자들은 삼각법을 계산의 도구로 밖에 보고 있지 않았지만, 바스카라 2세 자신은 삼각법에 큰 관심을 가지고 있었던 것 같다. 삼각함수 의 가법정리라고 한다 $\sin \left(a+b\right)$ 야 $\sin \left(a-b\right)$ 등도 다루고 있다.

미분적분학 [ 편집 ]

'시단타 시로마니'는 천문학을 중심으로 다루고 있지만, 그 이전의 저작에는 없는 다양한 이론이 포함되어 있다. 특히, 일부 삼각법 의 성과에 따른 미분법 이나 해석학 의 기본 개념, 적분법 의 사고방식 등을 볼 수 있다.

그 저작으로부터, 바스카라 2세는 미분법 의 몇 가지 생각을 알고 있었다고 보여지고 있다. 그러나 이러한 성과의 사용법을 이해하지 못한 것으로 보이며, 그 때문에 수학사가에서는 일반적으로 무시되고 있다. 바스카라 2세는 함수의 극값에서 미분계수가 0이 되는 것을 시사하고 있으며, 무한소 의 개념을 알고 있었음을 나타내고 있다 ^[4] .

롤의 정리 의 원형이 저작에 보인다.
- $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0$ 때, $\ a<x<b$ 라는 범위가 있는 $\ x$ 에서 $f'\left(x\right)=0$ 된다.
$x\approx y$ $x\approx y$ 그렇다면 $\sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)$ $\sin(y)-\sin(x)\approx (yx)\cos(y)$ 된다는 결과를 얻고 있다. 사인 함수의 미분을 발견했지만 미분으로 일반화하려고 시도하지 않았습니다 ^[5] .
- 바스카라 2세는 황도 상의 위치각을 구하는데 사용하고 있다. 이것은 음식이 일어나는 시간을 정확하게 예측하는 데 필요했습니다.
행성의 순간적인 운행을 계산함에 있어서 행성의 위치를 1⁄ 33750 초 이하의 간격으로 측정하고 있으며, 이러한 무한한 시간 단위로 속도를 측정하고 있었다.
그는 변수가 극대치가 되었을 때 미분계수가 사라지는(제로가 됨) 것을 알고 있었다.
또한 행성이 지구에서 가장 먼 위치에 있거나 가장 가까운 위치에 있을 때 행성이 겉보기에 일정 속도로 운행한다고 가정하여 계산한 위치와 실제 위치의 차이가 0이 되는 것을 나타냈다. . 그래서 그는 그 차이를 나타내는 식과 실제 운행의 차이가 0이 되는 점이 중간에 존재한다고 결론지었다. 이것은 해석학 의 가장 중요한 정리인 평균치의 정리의 생각과 같고, 오늘날 롤의 정리 로부터 도출하는 것이 일반적이다. 평균치의 정리는 15세기, 바스카라 2세의 『릴라바티』의 주석본인 파라메시 바라 ( Parameshvara ) 의 Lilavati Bhasya 에서 발견되고 있다.

마다바 (1340년~1425년)와 14세기부터 16세기에 이르는 케랄라 학파 수학자들(파라메시바라 포함)은 바스카라 2세의 실적을 발전시켜 인도에서의 미분적분학을 발전 시켜 했다.

천문학 [ 편집 ]

블러마구프타 가 7세기에 발전시킨 천문 모델을 사용해, 바스카라 2세는 항성년( 지구 가 태양 주위를 일주하는데 걸리는 시간)의 길이 를 365.2588일로 하는 등 ^[^요출전^] , 다양한 천문학상의 양을 정의했다. 현재의 측정치는 365.2563일이며, 그 차이는 단 3.5분이다.

그의 천문학의 저서 '시단타 시로마니'는 두 부분으로 구성된다. 전반은 수학적 천문학이고 후반은 구면을 다루고 있다.

전반부 12장에서는 다음과 같은 내용을 다룬다.

행성 의 평균 경도
행성의 진정한 경도
일주운동 의 세 가지 문제
행성 직렬
월식
일식
행성의 위도
출몰 방정식
달의 부족
두 행성의 합
행성과 항성 의 합

후반은 구면에 관한 13장으로 구성된다. 다음과 같은 내용을 다루고 있다.

구면 연구에 대한 찬사
구면의 본질
우주잡지 와 지리학
행성의 평균 운행 속도
행성의 이심 주전원 모델
천구의
구면 삼각법
타원 계산 ^{[ 요출처 ]}
행성의 가시성
달 의 부족 계산
천문용기구
계절
천문 계산 문제

공학 [ 편집 ]

1150년, 바스카라 2세는 영구적으로 계속 돌고 있는 바퀴에 대해 기술하고 있으며, 영구기관 의 오래된 예의 하나가 되고 있다 ^[6] .

바스카라 2세는 Yasti-yantra 라고 하는 측정 기구를 사용하고 있었다. 단순한 막대 모양이 되거나, V자형으로 변형시킬 수 있고, 통치자와 조합해 각도를 측정하는데 주로 사용했다고 한다 ^[7] .

각주·출처 [ 편집 ]

[ 각주 사용법 ]

↑ Plofker, Kim (2007). Mathematics in India . pp. 447
^ 세부는 다르지만, 이안 스튜어트「수학의 마법의 보물 상자」소프트뱅크 크리에이티브, 7페이지. ISBN 978-4-7973-5982-4 . 에 비슷한 이야기가 소개되었습니다.
↑ Arithmetic and mensuration of Brahmegupta and Bhaskara, HT Colebrooke , 1817
↑ Shukla , Kripa Shankar (1984). “Use of Calculus in Hindu Mathematics”. Indian Journal of History of Science 19 : 95–104.
↑ Cooke, Roger (1997). “The Mathematics of the Hindus”. The History of Mathematics: A Brief Course . Wiley-Interscience. pp. 213–214. ISBN 0471180823
↑ Lynn Townsend White, Jr. (April 1960), "Tibet, India, and Malaya as Sources of Western Medieval Technology", The American Historical Review 65 (3): 522-6
↑ Ōhashi, Yukio (2008), "Astronomical Instruments in India", in Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2nd edition) edited by Helaine Selin, Springer, pp. 269-273 , 978-1-4020-4559-2

참고 문헌 [ 편집 ]

楠葉隆徳・林隆夫・矢野道雄『インド数学研究―数列・円周率・三角法―』恒星社厚生閣, 1997년.
조지·G·조제프 “비유럽 기원의 수학” 가 키타 타카오 · 오마치 비사 에이 역 , 코단샤 , 1996년.

외부 링크 [ 편집 ]

Bhaskara II (1114 - 1185) (영어) - Biography - MacTutor History of Mathematics
『바스카라[2세]』 - 코트뱅크
『부하스카라』 - 코트뱅크

[1] Plofker, Kim (2007). Mathematics in India . pp. 447

[2] 세부는 다르지만, 이안 스튜어트「수학의 마법의 보물 상자」소프트뱅크 크리에이티브, 7페이지. ISBN 978-4-7973-5982-4 . 에 비슷한 이야기가 소개되었습니다.

[3] Arithmetic and mensuration of Brahmegupta and Bhaskara, HT Colebrooke , 1817

[4] Shukla , Kripa Shankar (1984). “Use of Calculus in Hindu Mathematics”. Indian Journal of History of Science 19 : 95–104.

[5] Cooke, Roger (1997). “The Mathematics of the Hindus”. The History of Mathematics: A Brief Course . Wiley-Interscience. pp. 213–214. ISBN 0471180823

[6] Lynn Townsend White, Jr. (April 1960), "Tibet, India, and Malaya as Sources of Western Medieval Technology", The American Historical Review 65 (3): 522-6

[Ohashiast-inst-7] Ōhashi, Yukio (2008), "Astronomical Instruments in India", in Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2nd edition) edited by Helaine Selin, Springer, pp. 269-273 , 978-1-4020-4559-2

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2024/03/24